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平面図形の定理の証明です.△ABCにおいて∠Aの外角二等分線と辺BCの延長線上が交わり,その交点をDとしたとき AB AC=BD BC 直方体ABCD-EFGHにおいて、ＡＢ＝3、ＡＤ=4、ＡＥ＝２であるとき、次のものを求めよ。 半径３５５，６ミリの円があり、その弧の上に点A、Bがある。 このa,b,c,d,の各地点から円の孤までの線の長さをそれぞれ求めよ。 円に内接する四角形ABCDがある。AB=6、AD=8、BD=10、BC=CD、AC ADである。 1、∠BAD 2、∠BCD 3、∠CAD 4、ACの長さ 5、sin∠ADC をそれぞれ求めよ。 △ABCにおいて、AB＝6、AC=3、∠A=120°である。 頂点Aと辺BCの中点Mを結んだ線分の長さAMは？ 図は1辺が4cmの立方体、点A、P、Qを通る平面と点B、Q、Rを通る平面とで切断し、２つの三角錐を切り取って作った立方体である。体積と面積を答えよ。 平面x+2y+3z=6について、原点を通り、この平面に垂直に交わる直線の方程式を求めよ。 凸四角形ABCDにおいて AC=1 0 ∠ACB=∠ACD π/2 ∠BAD=π/2 このとき三角形BCDの面積Sの最大値を求めよ 数学Bの問題で、点P（３，４，５）を通りXY平面に平行な平面の方程式を教えてください 問１．頂角Ａが36度、辺ＢＣが１の二等辺三角形ＡＢＣにおいて 底角Ｃの二等分線と線分ＡＢとの交点をＤとするこのときのＢＤの長さを求めよ 円 x^2 +y^2 =1 をある直線 l に関して折り返すと，点 (2, 0) で x 軸に接する．このとき，直線 l の方程式を求めよ 三角形ABCについて面積が√5であり∠A=θとすると∠C=90°+θとなり辺ACの長さが1であったとするこのとき辺ABとCBの長さを求めよ 図のような、底面の半径r、高さhの直円錐を考える。その内部に図のように面ABCD、面EFGHを正方形とする直方体を考える。(1)直方体の高さをxとするとき、直方体の体積をr,h,xの式で表せ。 正四面体ってすごい綺麗な形してると思うんですが4つの面は正三角形です このときってそれぞれの面が底面から何度傾いているかって分からないんですか？ 角Bが直角でAB＝BC＝1の直角二等辺三角形がある。} 10x^2+kxy+2y^2-9x-4y+2=0が2直線をあらわし時のkを求めよ。 一つの円に関して 中心角が等しい⇔対応する弧が等しい の証明 平面上に四角形OABCが与えられている。ここでOは原点とする。 四角形の成立条件(？)について質問があります 点Ｐは線分ＡＢを直径とする円周上にある ⇔ 角ＡＰＢ＝９０° 円の周上に３点A,Q,Bがあり、点Pが直線ABに関して点Qと同じ側にあるとき、 ①点Pが円の内部にある→∠APB＞∠AQB ②点Pが円の外部にある→∠APB＜∠AQB 4 ： １３２人目の素数さん [] 2011/01/21(金) 02 57 40 数学Bの問題で、点P（３，４，５）を通りXY平面に平行な平面の方程式を教えてください 5 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/21(金) 02 58 35 z=5 7 ： １３２人目の素数さん [] 2011/02/05(土) 22 45 18 四角形の成立条件(？)について質問があります (文系プラチカ) 四角形ABCDにおいて、 AB＝BC＝1、CD＝2、DA＝x、∠ABC＝θ とする。このとき四角形ABCDに外接する円があるようにしながら、 辺DAの長さxをさまざまに変えたとき、cosθの取りうる値の範囲を求めよ。 という問題なのですが。 解説に 四角形ABCDが存在するための条件から、 DC-CB-BA AD DC+CB+BA ∴2-1-1 x 2+1+1 ∴0 x 4 （逆に、これを満たすどんなxに対しても、四角形ABCDの対角の和A＋C、B+Dをそれぞれ180度に等しく出来るので、この四角形に外接する円を取ることが出来る） ・ ・ ・ ・ この「四角形が存在するための条件」というのが、いまいちピンときません。 どなたか、解説お願いします。 8 ： スガ ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/02/05(土) 22 49 25 7 四本の棒で四角形を作ることを考えてみよう。 一本だけ異常に長い棒があったら四角形作れないよね？ これは絵でも書いてもらうと分かりやすいのだけど。 あと、すでに３本は長さが決まってるから、残りの一本が短すぎても四角形は作れない。 9 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 22 50 35 7 三角不等式みたいなものだよ。どの辺も他の3辺の和以上になることはない。 10 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 23 06 40 7 まずある三角形ＡＢＣの存在条件は｜ＡＢ－ＡＣ｜＜ＢＣ＜ＡＢ＋ＡＣであり、これは△ＡＢＣを図で書くと、 左辺では ｜ＡＢ－ＡＣ｜≧ＢＣだと、 右辺では ＢＣ≧ＡＢ＋ＡＣだと 三角形が潰れて（もしくは点Ａ、点Ｂ、点Ｃが一直線上になる）描けなくなることから明らか。 11 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 23 10 54 次に四角形で上のことと同様に描いてみる （四角形を描く時に潰れない条件を考えてみる）と ＣＤが足されても 点Ａ、点Ｂ、点Ｃ、点Ｄが一直線になりそうなギリギリの図形で考えてみると考えやすい 25 ： スガ ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/02/06(日) 00 19 29 21 その式が何処から出てきたのかわかんないけど、 この問題は素直に置換積分したほうがいいと思うよ。 置換後の形がすぐにひらめくのであれば不要だけど。 26 ： １３２人目の素数さん [] 2011/02/06(日) 00 21 11 さきほど、四角形の成立条件について質問したもの 7 ですが みなさんのアドバイスを参考に考え直してみました。 四角形ABCDにおいて、対角線BDを引く。 まず、△BCDについて、三角形の成立条件より ｜CD-BC｜ BD CD+BC ∴1 BD 3 次に、△ABDについて、三角形の成立条件より ｜BD-AB｜ DA BD+AB ⇔｜BD-1｜ DA BD+1 これに1 BD 3をあわせると 0 DA=x 4 これで記述の試験でも大丈夫ですかね？ 確認お願いします。 26 ： １３２人目の素数さん [] 2011/02/06(日) 00 21 11 さきほど、四角形の成立条件について質問したもの 7 ですが みなさんのアドバイスを参考に考え直してみました。 四角形ABCDにおいて、対角線BDを引く。 まず、△BCDについて、三角形の成立条件より ｜CD-BC｜ BD CD+BC ∴1 BD 3 次に、△ABDについて、三角形の成立条件より ｜BD-AB｜ DA BD+AB ⇔｜BD-1｜ DA BD+1 これに1 BD 3をあわせると 0 DA=x 4 これで記述の試験でも大丈夫ですかね？ 確認お願いします。 27 ： １３２人目の素数さん [] 2011/02/06(日) 00 26 11 極のまま、あるθのときにできる円の面積を積分しようと思ったのですが 確かに置換したほうが早いかもしれません 28 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 01 03 23 26 いいと思う。 十分条件を忘れずにな。 29 ： １３２人目の素数さん [] 2011/02/06(日) 01 06 21 28 すみません 十分条件と言いますと、どういうことですか？ 30 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 01 14 25 この問題で言うと 0 ｘ 4…必要条件 解答の()内…十分条件 つまり 必要条件は、それがないと題意が成り立たない。 十分条件は必要条件が本当に題意を満たしているのかの確認。 今は0 ｘ 4だけでは四角形はできても、円に内接することが示されていないから、その確認がいるってこと。 集合と論理の分野で必要、十分ってのがあるけどわからなかったら気にしなくていいよ 38 ： １３２人目の素数さん [] 2011/02/06(日) 01 27 52 30 すみません。 聞き忘れていたのですが、 （逆に、これを満たすどんなxに対しても、 四角形ABCDの対角の和A＋C、B+Dをそれぞれ180度に等しく出来るので、 この四角形に外接する円を取ることが出来る） とは、どうやって分かったのか、教えてもらってもいいですか？ 39 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 01 38 14 0 ｘ 4って出てきてるから数字を代入して確認したらいいと思う。 大体は端、真ん中とかわかりやすそうな所を３つ代入して成立したらいける。 例えば ｘ＝０だと図を描くと三角形ができる。 ｘ＝４だと四角形内の２つの三角形で余弦定理を使うとcosθ＝－１となってθの範囲の端だとわかる。 40 ： １３２人目の素数さん [] 2011/02/06(日) 01 43 07 なるほど、ありがとうございます！ 解答作成の際は、過程は誤魔化して書かずに、 結論だけを書いておけば、大丈夫ですか？ それと、()内を証明するなんてことになったときは、相当面倒ですか？ 41 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 01 53 16 解答のように、結論だけでいいと思うよ。 たぶん()内は証明する時間がないし、俺はできないｗ ちなみに、数学で確認作業は大事だよ。 数値を代入できるのなら(角度とか数式)代入した方がいい。 考えはあってるのに(1)で間違って後全滅なんてことにならないようにしないとね。 42 ： １３２人目の素数さん [] 2011/02/06(日) 01 57 12 なるほど、ありがとうございます。 確認を忘れないように気をつけます！ それと、、、 ｘ＝０だと図を描くと三角形ができる。と書いてあったんで考えてみたんですけど、 ｘ＝０とは、ＡとＤが一致してＡ(=Ｄ)Ｃ=２となるときですよね？ そのとき△Ａ(=Ｄ)ＢＣで余弦定理使うと。cosθ＝－１となって 三角形が作れなくなってしまい、？？？となってしまいました。 三角形が出来るのに、コサインが合わない、どういうことなんでしょうか？ 43 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 02 03 46 42 間違えた。三角形はできないよね。 その時は１＋１＝２となりＡ、Ｂ、Ｃは一直線上になる。 これは計算した通りcosθ＝－１とも合致している。 8 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/21(金) 10 18 35 問１．頂角Ａが36度、辺ＢＣが１の二等辺三角形ＡＢＣにおいて 底角Ｃの二等分線と線分ＡＢとの交点をＤとする このときのＢＤの長さを求めよ 問２．{3-(5+√3)cos^2θ}/(sinθ+cosθ)＝-√3cosθ tanθを求めよ。ただし、0°≦θ≦90°とする。 問１に関してはＤから辺ＡＣに垂線を下ろすと ちょうど中点であることくらいしかわかりませんでした 問２は以下のとこまでいきました 3-(5+√3)cos^2θ＝-√3cosθ(sinθ+cosθ) 3-5cos^2θ-√3cos^2θ＝-√3sinθcosθ-√3cos^2θ 3-5cos^2θ＝-√3sinθcosθ √3sinθcosθ-5cos^2θ＝-3 cosθ(√3sinθ-5cosθ)＝-3 sinθ(√3sinθ-5cosθ)＝-3tanθ 9 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/21(金) 10 46 52 8 1 正五角形とその対角線を書いてみる 2 3-(5+√3)cos^2θ＝-√3cosθ(sinθ+cosθ) 両辺を cos^2θ で割って 1/cos^2θ=1+tan^2θ 73 ： １３２人目の素数さん [] 2011/02/06(日) 13 41 03 異なる3点Ａ、Ｂ、Ｐについて、 点Ｐは線分ＡＢを直径とする円周上にある ⇔ 角ＡＰＢ＝９０° の、←の証明を教えてガリレオ 74 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 13 42 43 73 定義より明らか 75 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 13 43 56 73 定義より自明 86 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 14 13 18 73 ABの中点をMとすると⊿AMPはAM=PMなる二等辺三角形 87 ： 73 [] 2011/02/06(日) 14 14 05 円周角の定理は、→の証明には使えると思うんですが、←の証明にどうやって使うんでしょうか。 あと、「定義より自明」も気になります。よろしくお願いします 88 ： 73 [sage] 2011/02/06(日) 14 15 29 86 の証明でうまくいきました。他に、 ・円周角の定理を使った証明 ・定義より自明 これらを詳しくお願いします 89 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 14 18 08 88 △ABPの外接円を考える。円の中心をOとすると∠AOBは？ 90 ： 73 [sage] 2011/02/06(日) 14 20 04 89 えっと、それは→の証明じゃないんでしょうか！？ 91 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 14 22 42 外接円とした時点では、ABは直径でも何でもないその円のただの弦。 ここが分からないなら、君には数学は無理だ。 92 ： 73 [sage] 2011/02/06(日) 14 24 03 円周角の定理より、∠AOB=90×2=180として、どうして←が言えるんでしょうか 93 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 14 25 27 ∠AOB=180°なら3点A、O、Bは一直線上にある。すなわちABは直径。 94 ： 73 [sage] 2011/02/06(日) 14 26 23 ABが円Oの直径⇔∠AOB=180 でＯＫ？ 102 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 14 38 43 円の周上に３点A,Q,Bがあり、点Pが直線ABに関して点Qと同じ側にあるとき、 ①点Pが円の内部にある→∠APB＞∠AQB ②点Pが円の外部にある→∠APB＜∠AQB 教科書では、①は単にAPを延長して円との交点をP として証明しているのに、 ②はなぜか、線分ＡＢ上にA,Bとは異なる点Cをとり、直線CPと円周の交点をP として証明しています。 ②の証明は、別の観点からの証明というより、単純に労力が二倍になるだけだと思うんですが、なにがしたいのでしょうか？ 113 ： 102 [sage] 2011/02/06(日) 15 25 09 ttp //detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1351287473 の図でも同じような、わざわざ点Ｃをとる証明がなされています。 なぜみんなわざわざこんなことするの？ 114 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 15 27 51 それが分かりやすいから？ 115 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 15 31 09 線分APが弧ABと交点を持つとは限らないからだろ 117 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 15 51 24 115 ほうほう。教科書は定理や証明を並べるだけじゃなくて、そういうことをちゃんと書いてほしいですな 120 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 16 20 37 117 APと弧の交点で証明を進めていけばすぐ破綻に気づくだろ 124 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 16 31 27 120 それに気づくのは結構難しいと思う。 教科書の図も、普通にAPと（BPも）弧が交差してるし。 弧が半円よりも短いときのケースとか、教科書に一言書いてくれてあったら、ここで君に出会うことも無かった。 160 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/24(月) 21 45 15 円 x^2 +y^2 =1 をある直線 l に関して折り返すと，点 (2, 0) で x 軸に接する． このとき，直線 l の方程式を求めよ 折り返してx軸に接する…。わからないです。お願いします。 161 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/24(月) 22 31 22 160 折り返した円の中心はどこにあるよ？ 折り返すんだから、直線 l は中心同士の垂直二等分線。 167 ： １３２人目の素数さん [] 2011/01/24(月) 23 10 24 三角形ABCについて面積が√5であり ∠A=θとすると∠C=90°+θとなり 辺ACの長さが1であったとする このとき辺ABとCBの長さを求めよ という問題でBC=6, CB=3√5が答えです とりあえずAB=x, Bc=yとおいて ycosθ=xsinθ=2√5 cos^2+sin^2=1より(x+y)^2/(xy)^2 =20 というところまでは求められたのですがそこで詰まりました ここから先の解説をいただけると幸いです 172 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/25(火) 03 04 06 167 制限低利より1/sin(90ｰ2θ)=y/sinθ 182 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/25(火) 19 10 39 問題ttp //imepita.jp/20110125/677800 解答ttp //imepita.jp/20110125/678540 図のような、底面の半径r、高さhの直円錐を考える。その内部に図のように面ABCD、面EFGHを正方形とする直方体を考える。 ここで頂点A,B,C,Dは直円錐の側面上にあり、頂点E,F,G,Hは直円錐の底面上にあるものとする。このとき次の問いに答えよ。 (1)直方体の高さをxとするとき、直方体の体積をr,h,xの式で表せ。 (2)直方体の体積を最大にするようた高さxを求めよ。また、そのときの体積を求めよ。 という問題で、 俺は(1)で、△OIC相似△OJLよりOI IC=OJ JL ⇔(h-x) IC=h r ⇔IC=r(h-x)/h よって、正方形ABCDの一辺の長さは2IC=2r(h-x)/hとしたんですけど間違ってました 解答は、正方形ABCDの一辺の長さをyとすると、IC=AC/2=y/(√2) OI IC=OJ JLより(h-x) y/(√2)=h r これよりy=(√2)r(h-x)/hとなっていました これで結局体積も違ってきてしまいます どこが違うのか分からないんで教えてください あとレス代行してもらってるのど返信が遅れるかもしれません 183 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/25(火) 20 47 04 182 ACは正方形ABCDの対角線 184 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/25(火) 20 53 30 182 2ICってACだろ？ ACは対角線だよ。求めるのはその1/√2。 211 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/26(水) 22 31 34 正四面体ってすごい綺麗な形してると思うんですが 4つの面は正三角形です 底面を固定すると3つの面が頂点で1つになります このときってそれぞれの面が底面から何度傾いているかって分からないんですか？ 60°ですか？ 213 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/26(水) 22 40 00 211 高さを出して余弦定理 214 ： １３２人目の素数さん [] 2011/01/26(水) 22 40 48 211 3辺 2 √3 √3 313 ： １３２人目の素数さん [] 2011/01/29(土) 12 51 13 角Bが直角でAB＝BC＝1の直角二等辺三角形がある。 辺BC上に点Dをとり、三角形ABDの内接円の半径と、三角形ADCの内接円の半径が等しくなるようにする。 このときBDの長さはいくらか。 これはどのように考えればいいでしょうか。 ｒ＝S/sを使うのかなと思いましたが辺の長さがわかりまｓんし。 314 ： スガマサト ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/01/29(土) 13 31 43 AB=BC=1で角Bが直角なら AC=√2 412 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/11(火) 08 42 48 平面図形の定理の証明です. △ABCにおいて∠Aの外角二等分線と辺BCの延長線上が交わり,その交点をDとしたとき AB AC=BD BC これを証明しろという問題です. ヒントとしてAB ACのときとAB ACのときに場合分けしろ,と書いてありましたがわかりません. どなたかお願いします. 417 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/11(火) 10 43 36 412 問題自体が間違ってるからな AB ACはBD CDと等しいぜ ヒント DからABに平行な直線を引いてみよう 419 ： 412 [sage] 2011/01/11(火) 11 25 43 417 すいません、問題を写し間違えました。 AB ACはCを通りADと平行な直線とABの交点をXとして、錯角や同位角を用いて証明できましたが、 AB ACの場合をどうすればいいかわかりません。 420 ： 412 [sage] 2011/01/11(火) 11 33 37 自己解決しました 464 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/11(火) 21 49 32 直方体ABCD-EFGHにおいて、ＡＢ＝3、ＡＤ=4、ＡＥ＝２であるとき、次のものを求めよ。 ・ＢＤＥの面積Ｓ ・四面体ＡＢＤＥの体積Ｖ ・原点Ａから平面ＢＤＥにおろした乗線の長さ 466 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/11(火) 22 29 24 464 三角形ＢＤＥの各辺の長さを三平方の定理で求めると、 BD=√25=5 DE=√20=2√5 EB=√13 一番短い辺EBの対角Dの余弦(cosD)を余弦定理で求める。 cosD=(25+20-13)/(2*(2√5)*5)=32/(2*2*5√5)=8/(5√5) ∴sinD=√{1-(8/(5√5))^2}=√(61/125)=(√61)/(5√5) （有理化しない方が計算が楽に済むことが多い。） （一番短い辺BDの対角Dは鋭角になるから、sinD 0） ∴S=(1/2)*(2√5)*5*{(√61)/(5√5)}=√61 四面体ABDEについて、三角形ADEを底面、辺ABを高さとみれば体積は、 (1/3)*{(1/2)*4*2}*3=4 （四面体ABDEの体積は、直方体ABCD-EFGHの1/6だから、(2*3*4)/6=4としてもよい。） 点Aから平面BDEに下ろした垂線と平面BDEの交点をIとする。 四面体ABDEについて、三角形BDEを底面、辺AIを高さとみれば、 (1/3)*(√61)*AI=4 より、AI=12/√61 475 ： 466 [sage] 2011/01/11(火) 22 51 37 467-468 一番短い辺BDの対角Dは鋭角になるから、sinD 0は要らんかったね。 三角形の内角だから結局sinDもsinEもsinBも正だったわ。 505 ： １３２人目の素数さん [] 2011/01/12(水) 19 14 51 半径３５５，６ミリの円があり、その弧の上に点A、Bがある。 AとBとの間に直線距離を引き、長さを図ると５４ミリあった。 この直線ABを１０，８ミリごとに５等分する点を４つ置き（円の中心から見て左からa,b,c,d,） そこから円の外側の（近い側の）孤に交わる直角の線をそれぞれ引く。 このa,b,c,d,の各地点から円の孤までの線の長さをそれぞれ求めよ。 506 ： 菅_理人@kmath1107BBS ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/01/12(水) 19 23 58 505 解法のみ 円の中心をOとし、A,Bの中点をCと置こう。 三角形OACに３平方の定理を使うと OCの長さが分かる。 Ca,Cb,の長さは分かるので、 三平方の定理を順に適用して Oa,Obの長さを求めることができる。 a,b,c,dから円の弧までの長さはそれぞれ 半径からOa.Obの長さを引けば求められる。 なお、OaとObについてのみ計算すればOdとOcは対象性から分かる。 510 ： １３２人目の素数さん [] 2011/01/12(水) 19 53 29 506 求めるのは 直線ABから「直角に出て」弧に交わるまでの線の長さ」ではないですか？ 511 ： 菅_理人@kmath1107BBS ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/01/12(水) 20 04 32 510 そうみたいね。 すっかり馬鹿に成ったなぁ。 昔から誤解答は良くやってたけど 512 ： １３２人目の素数さん [] 2011/01/12(水) 20 09 02 510 直角というかABから垂直に出る線が一番近い円の弧とぶるかるまでのそれぞれの距離だよね これどういう公式使うのかな？良く解らんなあ 505 513 ： １３２人目の素数さん [] 2011/01/12(水) 20 11 56 単純に三角関数じゃねえか？ 514 ： 菅_理人@kmath1107BBS ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/01/12(水) 20 13 49 座標平面や三角関数無しで解きたかったけど無理っぽい。 515 ： １３２人目の素数さん [] 2011/01/12(水) 20 15 14 そこから円の外側の（近い側の）孤に交わる直角の線をそれぞれ引く。 520 ： 菅_理人@kmath1107BBS ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/01/12(水) 20 48 28 505 点aで弦ABと垂直に交わる直線を考える。 この直線と円の交点をE,Fとする。aに近いほうがE (求める長さはaE) で、円の中心とこの弦EFの距離は aCの距離に等しいので求まる。 半径OEの長さも分かるので、 三平方の定理からEFの長さが求まる。 (EFの長さ) - (OCの長さ) を２で割ったものが求めるaEの長さ。 521 ： 菅_理人@kmath1107BBS ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/01/12(水) 20 49 29 失礼。 (EFの長さ)/2 - (OCの長さ) がaEの長さ。 524 ： １３２人目の素数さん [] 2011/01/12(水) 21 16 18 520 ふむ。解析中。 527 ： 菅_理人@kmath1107BBS ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/01/12(水) 21 31 31 524 ちょっと分かりにくいよね。 手ごろなupロダがあればいいのだけど。 EとFの中点をGと置いて、 三角形OEGに注目すると分かりやすいかも。 540 ： １３２人目の素数さん [] 2011/01/13(木) 00 54 18 527 解析しました。 505 の数値で計算するとaE＝0.6573ミリとでました！（簡易計算機なんで大体の近似値です。 素晴らしい！脱帽です 541 ： 540 [] 2011/01/13(木) 01 07 18 527 ｂEも出ました。0.9855ミリでした。 三平方だけで出来ましたね。面白かった！ 538 ： １３２人目の素数さん [] 2011/01/13(木) 00 09 02 円に内接する四角形ABCDがある。 AB=6、AD=8、BD=10、BC=CD、AC ADである。 1、∠BAD 2、∠BCD 3、∠CAD 4、ACの長さ 5、sin∠ADC をそれぞれ求めよ。 という問題で、 1と2は、△ABDで辺の比が 5 4 3なので90度、向かい合う角も90度。 4は、 BC=CDで、斜辺の長さが10の二等辺直角三角形なので BC=CD=5√2 これで四辺の長さが分かるので、cos∠ADCを求めて、AC=の形で余弦定理を使って求めて、 AC=8^2+5√2-2*8*5√2cos∠ADCで求める 5は、4でcos∠ADCを 1-cos^2∠ADCで求める 3も、4を求めた後、△ADCの三辺の長さから求められる、と思うのですが それだと問題の順がなにか変な感じがするのですが、これはもっと簡単に∠CADがわかるもの なのでしょうか？ 545 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/13(木) 15 28 45 538 (3)は円周角 551 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/13(木) 17 45 50 教えてください。 △ABCにおいて、AB＝6、AC=3、∠A=120°である。 頂点Aと辺BCの中点Mを結んだ線分の長さAMは？ 答えは、3√3/2ですが、これは内接円の半径rで解いても 正弦定理の外接円で解いても答えが違うのですがどうやって解くんですか？ 円は関係ない場合の解き方がわかりません。 553 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/13(木) 17 53 00 551 ACをAの方に延長して、Bから垂線をおろす。 554 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/13(木) 17 56 50 553 Bから垂線下しても真ん中のMの計算がわかりません 670 ： １３２人目の素数さん [] 2011/02/02(水) 18 57 31 10x^2+kxy+2y^2-9x-4y+2=0が2直線をあらわし時のkを求めよ。ただしkは整数とする。 （px+qy+r)(sx+ty+u)=0の形にすればいいのは分かるって とりあえずyの2次方程式としてみたんですがその後どうすれば良いかわかりません ちなみにこんな感じになりました 2y^2+(kx-4)y+(10x^2+9x-2)=0 672 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/02(水) 19 15 40 670 計算おかしい気がするが後ろを因数分解して襷掛けを考える 673 ： 672 [sage] 2011/02/02(水) 19 21 52 後ろってのは10x^2-9x+2のことな 676 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/02(水) 19 31 14 670 10x^2-9x+2=(5x-2)(2x-1) 2y^2-4y+2=(2y-2)(y-1)だから 因数分解の結果は(5x+2y-2)(2x+y-1)になるよ 691 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/14(金) 18 16 51 ttp //imepita.jp/20110114/611700 図は1辺が4cmの立方体、点A、P、Qを通る平面と 点B、Q、Rを通る平面とで切断し、２つの三角錐を切り取って作った立方体である。 3点P、Q、Rは立方体の各辺と中点であるとする。 体積と面積を答えよ。 さっぱりわかりません。 立方体の体積4*4*4＝64 こっからどうすればいいですか？ 705 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/14(金) 21 30 33 703 切り取った三角錐それぞれの体積を求める 708 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/14(金) 22 49 21 691 切り取られた三角錐の体積を求めて引く。 804 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/17(月) 00 33 52 平面x+2y+3z=6について、原点を通り、この平面に垂直に交わる直線の方程式を求めよ。 わかりそうでわかりません。どなたかよろしくお願いします。 805 ： １３２人目の素数さん [] 2011/01/17(月) 00 55 22 804 法線ベクトル(1, 2, 3) 806 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/17(月) 01 00 34 805 x=y/2=z/3 ですね、ありがとうございますた 849 ： １３２人目の素数さん [] 2011/02/04(金) 16 12 39 一つの円に関して 中心角が等しい⇔対応する弧が等しい の証明を考え＆探しているんですが、よくわかりません。 ttp //ziddy.japan.zdnet.com/qa3460606.html このベストアンサーは、循環しているように思います。 （任意の円周角に対応する弧上の点が一意に取れて、同じことをした弧と「ぴったり一致する」、のであれば、その事実を最初から証明に使えばよい） ＧＯＯＤな証明をご存知の方、よろしくお願いします。 850 ： 849 [] 2011/02/04(金) 16 18 12 ちなみに、「ぴったり一致する」ことを最初から使った説明は ttp //contest.thinkquest.jp/tqj2002/50027/page078.html このようになると思いますが、これでは納得できないという人は、どうしたらいいでしょうか 851 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/04(金) 16 20 17 849 「角が等しい」と「弧が等しい」をそれぞれどう定義するの？ 852 ： １３２人目の素数さん [] 2011/02/04(金) 16 24 27 851 わかりません。そこからなにか解決策があるなら、私に質問する前に定義と証明をお願いします。 853 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/04(金) 16 32 52 弧長/半径で中心角を定義したらほぼ自明じゃね？ 854 ： 849 [sage] 2011/02/04(金) 16 42 07 853 中心角を弧長で、あるいは弧を中心角で定義すれば、確かに自明ですが、 少なくとも教育課程ではそのような定義はされてないですから、中学生にはどう説明しているんでしょう？ また、そのような定義をするにしても、その定義でいい理由として、 中心角が等しい＝弧が等しい あるいは 中心角の大きさと弧の長さが比例する のようなことが直観的理解として必要であるように思います。 結局、どちらにしても直観に頼るしかないのでしょうか？ 861 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/04(金) 17 54 32 859 この辺を勉強しては如何 ttp //www.amazon.co.jp/dp/4320015134 ttp //www.amazon.co.jp/dp/4480089535 876 ： スガマサト ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/02/04(金) 20 53 42 中学生のレベルでって言うならある程度直感に頼るのはしょうがないんじゃないの。 中心角と半径を指定したとき扇形は一通りしか作図できないから 弧の長さは一定って話。 この作図が一通りってのは書けば明らかなんだけど、 875 のいう直感的な説明でしかないし。 881 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/04(金) 21 03 17 875 扇を作る二つの半径と弦とで出来る三角形は半径と中心角が等しければ合同ってのではダメなの？ 合同だから三角形はぴったり重なり、そのとき弧がぴったり重ならないとすると 中心からの距離が半径ではない部分がどちらかにあることになって矛盾するから、弧もぴったり重なる。 894 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/04(金) 21 53 39 854 中学レベルでは割と曖昧なことしか言えません。 初等幾何学の範疇では角度と円周の長さを独立に定義できないので、初等幾何 での証明ではあなたの満足するものは得られないと思います。しかし数学的に 厳密な論理的整合性のある体系は整理されています。 「計量」または「内積」なるものを定義して、そこから角度や曲線の長さを 定義します。もちろん初等幾何学からの結果に整合的であるようになってい ます。詳しくは解析学を勉強してください。 しかし結局は初等幾何的な直観を念頭に置いています。 889 ： １３２人目の素数さん [] 2011/02/04(金) 21 33 17 平面上に四角形OABCが与えられている。ここでOは原点とする。4点O,A,B,Cから3点を選び、この3点を頂点とする三角形の重心をGとし、残りの1点とGを端点とする線分をm nに内分する点をPとする。ただしm,nは正数である。 4点O,A,B,Cの中から3点をどのように選んでも、その結果得られる点Pが同じ点になるようなm,nの比を求めて下さい。 891 ： １３２人目の素数さん [] 2011/02/04(金) 21 40 10 四角形OABCを正方形としと考えていいですか？ 892 ： １３２人目の素数さん [] 2011/02/04(金) 21 44 25 a＞0としてO(0,0),A(a,0),B(a,a),C(0,a)で考えていいですか？ 903 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/04(金) 23 36 14 901 892 この質問なら答えはダメ あらゆる四角形OABCについ述べないといけないから、 O(0,0),A(xa,ya),B(xb,yb),C(xc,yc) とか置かないといけない どこまで習っているか、進度によって解答が変わるんだから… 905 ： １３２人目の素数さん [] 2011/02/04(金) 23 38 12 903 やはり四角形の形を特定してはいけないんですね。 3Cまで履修しています。 907 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/04(金) 23 45 32 905 なら、 903 のように各点を置いてもよし、 ベクトルを使ってもよし 各三角形でそれぞれのPを求めて、P同士を比較すればいい 911 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 00 11 40 889 3 1 941 ： １３２人目の素数さん [] 2011/01/19(水) 23 05 27 凸四角形ABCDにおいて AC=1 0 ∠ACB=∠ACD π/2 ∠BAD=π/2 このとき三角形BCDの面積Sの最大値を求めよ よろしくお願いします。 942 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/19(水) 23 09 49 S=1/2bcsinA
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s001introJ.zip をクリックしてs001introJ.zipをダウンロードし解凍すると，s001introJ.cdyが入手できます．このファイルをクリックして開きます．今回はCinderellaで図を描き、PDFに出力します． ここでは三角形とその内接円を描きます．次のPDFファイルを作ることを目指しましょう． #ref error ：ご指定のファイルが見つかりません。ファイル名を確認して、再度指定してください。 (title=) 「KeTCindyを始めよう」でやったように「線分を加える」ボタンを使ってまず三角形ABCを描きます．ここでちょっと注意です．始めに示した完成図と次の画面の三角形が違っていますが，その理由は図を完成した後に頂点Bを動かして三角形を変形しているからです．この説明を最後まで読むと，変形できることがどんなに便利な機能であるかを実感して頂けます． 次に「角の２等分線を加える」ボタンを押して線分ACと線分ABを選択すると次図のように角CABを２等分する直線が引かれます．（多数のボタンの中で黒く選択されているボタンが押すべきボタンです．以降も同様です．） #ref error ：ご指定のファイルが見つかりません。ファイル名を確認して、再度指定してください。 (title=) 続いて線分BCと線分CAを選択して角BCAを２等分する直線を引きます． これら２直線の交点を求めるには，「２つの曲線の交点を求める」ボタンを押します． ２等分線を引いた直後であれば，角BCAの２等分線がハイライトされていますので，ガイドに従ってもう一方の２等分線をクリックします．いったん「動かすモード」にしたりしてハイライトが消えていれば，両方の２等分線を順にクリックします． #ref error ：ご指定のファイルが見つかりません。ファイル名を確認して、再度指定してください。 (title=) 内接円を描くために交点Dを通り辺ACに垂直な直線を引きます．そのために「垂線を描く」ツールを選択します。辺AC上の適当な場所で左ボタンを押すと垂線と赤い点が出ますので，赤い点をそのままドラッグして交点Dに重ねマウスボタンを放します． 「２つの曲線の交点を求める」ツールを選んで，辺ACをクリックすると，点Dを通る垂線と辺ACの交点Eができます． #ref error ：ご指定のファイルが見つかりません。ファイル名を確認して、再度指定してください。 (title=) 最後に２点D,Eを通る円を描きます．「円を加える」ボタンを押してマウスで点Dで左ボタンを押し，そのままドラッグして点Eに重ねてマウスボタンを放します． #ref error ：ご指定のファイルが見つかりません。ファイル名を確認して、再度指定してください。 (title=) これでCinderellaによる幾何図形の描画は終わりです．この時点では「Texview」「Execk」ボタンを押しても図形の無いPDFファイルが作られるだけです．幾何点（Cinderella画面上の赤い点）や青い直線・青い線分は一切PDFファイル上には出力されません．それらを出力するためにはKETCindyのコマンドを書く必要があります： スクリプトエディタ画面を開いて次のように２つの命令 Listplot([A,B,C,A]); Circledata([D,E]); をAddax(0);とWindispg();の間に書いて実行します．（歯車アイコンクリックかShift+Enter） #ref error ：ご指定のファイルが見つかりません。ファイル名を確認して、再度指定してください。 (title=) コンソール（下のエリア）に generate Lsitplot sfABCA generate Circledata drDE と表示されています。KETCindyのコマンド（関数）Listplot() と Circledata() によりsgABCAとcrDEという２つのデータが生成されたことを示しています．これらは三角形と円のデータ名です． 一方，Cinderellaの図形表示画面では三角形と円が黒い線で表示されていることが分かります．Windispg() コマンドにより描かれた線です。 #ref error ：ご指定のファイルが見つかりません。ファイル名を確認して、再度指定してください。 (title=) この時点で「Texview」「Execk」ボタンを押して生成したPDFファイルが次の図です． #ref error ：ご指定のファイルが見つかりません。ファイル名を確認して、再度指定してください。 (title=) 線だけの図ですの，各頂点の名前や内心を示す点などを表示する必要があります．それらを描く命令を付け加えたスクリプトエディタ画面が次です． #ref error ：ご指定のファイルが見つかりません。ファイル名を確認して、再度指定してください。 (title=) 以下は新しく付け加える命令の解説です． Setpt(3); ／／ 描く点の大きさをデフォルトの３倍にします． Drawpoint([D]); ／／ 幾何点Dの位置に点を描きます． ／／ Drawpoint([D,C])などとリストにして複数の点を描くことが出来ます． Letter([A,"sw","A",B,"n1","B",C,"se","C",D,"ne","I"]); ／／ この命令の引数は３つずつが組になっています． ／／ A,"sw","A"が１組，B,"n1","B"が２組・・・です． ／／ 第１組は幾何点Aの位置の南西に文字"A"を書きます． ／／ 第２組の"n1"はBの位置の北方に通常より少し離して文字"B"を書ます． ／／ 最後の組でわかるように，幾何点Dの名前とその位置に書く文字は無関係です． ／／ 文字位置の微調整は"n1.6"や"n-1"なども可能です． さて，最終結果のPDFファイルの三角形が始めのものと異なっていることに注意して下さい．この図を得るにはCinderellaの図形表示画面で頂点Bを適当な位置に移動し，「Texview」「Execk」ボタンを押してPDFファイルを生成しなおせば良いことが分かります．このように図形を見ながら自在に変形できる所にCinderellaを使う利点の一つがあります． 最後にもう一度，「Cinderellaの図形表示画面に表示された図形をPDFに出力するためには，KETCindyのコマンドを書かなければならない」，という点について述べておきます．もしCinderellaの図形表示画面上の図形が全てPDF出力されたらどうでしょうか．図形を描くのに補助線（角の２等分線）を引いていますが，このような表示する必要のない補助線も出力されては教材として役に立たなくなります．点の名前なども自由に設定できなくなります．したがって，CindyscriptでKETCindyのコマンドを書くことによってPDF出力すべきものを決定することは本質的に重要な意味を持っています。そのかわり，Cinderellaの作図機能を使うことによって，角の２等分線を引くといったコマンドはいっさい書く必要がありません！ これがCinderellとKETpicのコラボによる大きな利点なのです．
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リヒテンベルク図形 電気を通しにくい材料の表面や内面に現れる放電のこと。 補足 落雷によりヒトの肌に現れるリヒテンベルク図形はlightning flowerと呼ばれ、シダ植物のような跡をみることができる。
https://w.atwiki.jp/s1c9y2009/pages/49.html
図形科学のシケプリと用語の演習問題をあげておきます。 他の教官のシケプリですが、内容はあまり変わらないと思います。 演習の教科書の解答と過去問は探してみたんですが、見つかりませんでした。 上クラのページにほかの演習問題がいくつかあるので、やりたい人はリンクからダウンロードしてください。 尾上
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物体・図形検出 物体や図形の検出処理を提供する 直線検出（確率的Hough変換） 直線検出（標準Hough変換） 円検出（Hough変換） 直線検出（確率的Hough変換） 説明確率的Hough変換によって画像から直線を検出する 入力 出力 パラメータ距離解像度（1ピクセル当たりの単位） 角度解像度（ラジアン） 閾値（投票数がこれを超えた場合のみ線として検出される） 最小の線分の長さ 検出結果を格納する変数（出力） このページのトップへ戻る 直線検出（標準Hough変換） 説明標準Hough変換によって画像から直線を検出する 入力 出力 パラメータ距離解像度（1ピクセル当たりの単位） 角度解像度（ラジアン） 閾値（投票数がこれを超えた場合のみ線として検出される） 検出結果を格納する変数（出力） このページのトップへ戻る 円検出（Hough変換） 説明Hough変換によって画像から円を検出する 入力 出力 パラメータ円の中心を求める際に用いられる計算時の解像度 円検出における中心座標間の最小間隔 Cannyのエッジ検出器で用いる二つの閾値の高い方の値 検出結果を格納する変数（出力） このページのトップへ戻る
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直線と平面 三垂線の定理 空間図形と多面体 正多面体の体積 正多面体の種類 準正多面体 サッカーボール(解説)(生徒向けワークシート)
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図形シフター Lv10-Lv25くらいまでの攻略(問題は毎回違います) 攻略１：大きいパーツから使う 例）Lv16 図1 □■ ■■ 図2 ■ ■ 図3 ■■ 図4 ■■■ 図5 ■■ ■■ ■■ 図6 ■ 図7 ■■■ ■□■ ■■■ 図8 ■■□ □■■ 図9 ■ ■ 図10 □■■ ■■■ 図11 ■□ ■■ □■ 図12 □■■ ■■■ ボード： □□□ □■□ □□■ ■■■ ①最後は全部剣(■)になるのですが、最初に全部コテ(□)になるパーツを探します 座標は左から右、下から上の順にアルファベットでナンバリング して説明します ａｂｃ ｄｅｆ ｇｈｉ ｊｋｌ 図1→ｂにドロップ 図5→ａにドロップ □□□ □□□ □□□ □□□ ②残った図を使って、全部コテの状態→全部剣の状態になるようにします。 全部を反転させなければならないので面積の大きいパーツの位置をまず適当に決めます。 図10→ａにドロップ 図12→ｇにドロップ 図7→ｄにドロップ □■■ □□□ ■■□ □□□ ③中くらいの面積の（又は形がへんてこな）パーツを適当に使います 図11→ａにドロップ 図8→ｄにドロップ ■■■ □□□ ■■■ □□□ ④あとは小さいやつだけなので適当につじつまを合わせます 図3→aにドロップ 図6→cにドロップ 図4→gにドロップ ※同じ形のは同じところに使えば使わなかったのと同じ 図2→ａにドロップ（どこでもいい） 図9→ａにドロップ（どこでもいい） ■■■ ■■■ ■■■ ■■■ ⑤なにも考えず、図1～12の順番で図を指定の位置に貼り付けます 図1→ｂにドロップ 図2→ａにドロップ 図3→ｄにドロップ 図4→ｊにドロップ 図5→ａにドロップ 図6→ｆにドロップ 図7→ｄにドロップ 図8→ｄにドロップ 図9→ａにドロップ 図10→ａにドロップ 図11→ａにドロップ 図12→ｇにドロップ 攻略２：重ねると低レベルの図形になる図形に注目 □□■ □□■ ■■■ ＋ ■□■ ■□■ ■■■ ＝ ■□□ ■□□ □□□ コンボ技をきめる □□■ □□■ ■■■ ＋ □■■ □■■ □□□ ＋ □■□ □■■ □□□ ＋ □□□ □□■ □■■ ＋ □□□ □□□ ■□□ 攻略３：あきらめて別の問題にする 回答が存在しない問題が出る場合があります